BILANGAN BULAT

 

A.    Pengertian Bilangan Bulat

Bilangan bulat adalah bilangan bukan pecahan yang terdiri dari bilangan :

•   Bulat positif (1, 2, 3, 4, 5, …)

•   Nol                 : 0

•   Bulat Negatif ( …,-5,-4,-3,-2,-1)

Himpunan Bilangan bulat

A = { …, -4, -3, -2, -1, 0, 1, 2, 3, 4, …   }

Garis bilangan bulat :
 

Di dalam bilangan bulat terdapat bilangan genap dan ganjil :

•   Bilangan bulat genap { …, -6, -4, -2, 0,  2, 4, 6, …   }
Bilangan yang habis dibagi dengan 2

 

•   Bilangan bulat ganjil  { …, -5, -3, -1, 1,  3, 5, …   }
Bilangan yang apabila dibagi 2 tersisa -1 atau 1

B.     Operasi Hitung Pada Bilangan Bulat :

•   Penjumlahan dan Sifat-sifatnya

1. Sifat Asosiatif
    ( a + b ) + c = a + ( b + c )

Contoh :
(5 + 3 ) + 4 = 5 + ( 3 + 4 ) = 12

2. Sifat Komutatif 

    a + b = b + a

Contoh :
7 + 2 = 2 + 7 = 9

 
3. Unsur Identitas terhadap penjumlahan

    Bilangan Nol (0) disebut unsur identitas atau netral terhadap penjumlahan 

    a + 0 = 0 + a

Contoh :

6 + 0 = 0 + 6
 

4. Unsur invers terhadap penjumlahan 

    Invers jumlah (lawan) dari a  adalah  -a 

    Invers jumlah (lawan) dari – a adalah a
    a + (-a) = (-a) + a 

contoh :

5 + (-5) = (-5) + 5 = 
 

5. Bersifat tertutup
    Apabila dua buah bilangan bulat ditambahkan maka hasilnya adalah 

    bilangan bulat juga.

    a dan b ∈ bilangan bulat   maka a + b = c  ;   c ∈ bilangan bulat 

contoh :
4 + 5 = 9  ;    4,5,9 ∈ bilangan bulat

•   Pengurangan dan Sifat-sifatnya

 
1.   Untuk sembarang bilangan bulat berlaku :

    a – b = a + (-b)
    a – (-b) = a + b

contoh:

8 – 5 = 8 + (-5) = 3
7 – (-4) = 7 + 4 = 11

 
2.   Sifat Komutatif dan asosiatif tidak berlaku
    a – b ≠  b - a

    (a – b ) – c  ≠  a – ( b – c )

Contoh :
7 – 3 ≠  3 -7 Æ  4 ≠  - 4

(9 – 4) – 3 ≠  9 – (4-3)   → 2 ≠ 8
 

3.   Pengurangan bilangan nol mempunyai sifat :

    a – 0 = a  dan  0 – a = -a

4.   Bersifat tertutup, yaitu bila dua buah bilangan bulat dikurangkan 

    hasilnya adalah bilangan bulat juga :

    a dan b ∈ bilangan bulat   maka a  -  b = c  ;   c ∈ bilangan bulat

contoh :
7 - 8  = -1  ;    7,8,-1 ∈ bilangan bulat

•   Perkalian dan Sifat-sifatnya

1. a x b = ab → hasil perkalian dua bilangan bulat positif adalah bilangan bulat positif

    Contoh:  7 x 6 = 6 x 7 = 42

    a x –b = -ab → hasil pekalian bilangan bulat positif dan negatif hasilnya adalah bilangan bulat negatif
    Contoh : 3 x -4 = -12

 
    -a x -b = ab → hasil perkalian dua bilangan negatif adalah bilangan bulat positif

    Contoh : -4 x -5 = 20
 

2. Sifat Asosiatif
    (a x b) x c = a x (b x c)

Contoh: (2 x 3) x 4 = 2 x (3x4) = 24

3. Sifat komutatif 

    a x b = b x a

Contoh : 5 x 4 = 4 x 5 = 20

 
4. Sifat distributif

    a x (b+c) = (a x b ) + (a x c)

Contoh : 3 x ( 2 +6) = (3 x 2) + (3 x 6) = 24

5  Unsur identitas untuk perkalian

    - hasil perkalian bilangan bulat dengan nol hasilnya adalah bilangan nol 

    a x 0 = 0

    - hasil perkalian bilangan bulat dengan 1 hasilnya adalah bilangan bulat itu juga 

    a x 1 = 1 x a = a

 
6. Bersifat tertutup

    Jika dua bilangan bulat dikalikan maka hasilnya adalah bilangan bulat juga 

    a x b = c  ; a, b, c  ∈ bilangan bulat
 

•    Pembagian dan Sifat-sifatnya
 

1.   Hasil bagi dua bilangan bulat positif adalah bilangan positif
    (+) : (+) = (+) 

Contoh : 8 : 2 = 4

 
2.   Hasil bagi dua bilangan bulat negatif adalah bilangan positif

    (-) :  (-)  =  (+)

 

Contoh :  -10 : -5 = 2

3.   Hasil bagi dua bilangan bulat yang berbeda adalah bilangan negatif
    (+) : (-) = (-) (-) : (+) = (-) 

Contoh : 6 : -2 = -3

               -12 : 3 = -4

4.   Hasil bagi bilangan bulat dengan 0 (nol) adalah tidak terdefinisi 

    a : 0 → tidak terdefinisi (~)

    0 : a → 0 (nol)

Contoh :  = ~  (Tidak terdefinisi)

5.   Tidak berlaku sifat komutatif dan asosiatif 

    a : b ≠  b : a

    (a:b):c ≠ a : (b:c)

Contoh : 

(8 : 2) : 4 ≠ 8 : (2 : 4) ⟶ 1≠ 16

6.   Bersifat tidak tertutup

    Jika dua bilangan bulat dibagi hasilnya belum tentu bilangan bulat juga

 
contoh : 6 : 2 = 3 ⟶ bilangan bulat

            ⟶ bukan bilangan bulat (bilangan pecahan)

•   Pemangkatan bilangan bulat

 

 

Contoh :

43  = 4 x 4 x 4 = 64
35    = 3 x 3 x 3 x 3 x 3 = 243

 
•   Akar pangkat dua dan akar pangkat tiga bilangan bulat

1. Akar kuadrat (akar pangkat dua)

    

⟶ b = nilainya tidak bulat

2. Akar kubik (akar pangkat tiga)