Persamaan Linear Satu Variabel

 

Pengertian Persamaan Linear Satu Variabel

Persamaan linear satu variabel adalah kalimat terbuka yang dihubungkan tanda sama dengan (=) dan hanya mempunyai satu variabel berpangkat 1. Bentuk umum persamaan linier satu variabel adalah ax + b = 0. Contohnya : 

1. x + 3 = 7
2. 3a + 4 = 1
3. r²– 6 = 10

Untuk memahami persamaan linear satu variabel, terdapat elemen-elemen yang perlu kita pahami yaitu tentang pernyataan, kalimat terbuka, variabel, dan konstanta. Kalimat terbuka adalah kalimat yang belum dapat diketahui nilai kebenarannya, variabel (peubah) adalah lambang (simbol) pada kalimat terbuka yang dapat diganti oleh sembarang anggota himpunan yang telah ditentukan. Konstanta adalah lambang yang menyatakan suatu bilangan tertentu, dan himpunan penyelesaian adalah himpunan semua pengganti dari variabel-variabel pada kalimat terbuka yang membuka kalimat tersebut menjadi benar. Contohnya : 

1. x + 13 = 17
2. 7 – y = 12
3. 4z – 1 = 11

Pada bagian 1. (x + 13 = 17) disebut kalimat terbuka, nilai x disebut variabel, sedangkan 13 dan 17 disebut dengan konstanta). Himpunan penyelesaiannya adalah x = 4

Pada bagian 2. (7 – y = 12) disebut dengan kalimat terbuka, nilai y disebut dengan variabel, sedangkan 7 dan 12 disebut dengan konstanta. Himpunan penyelesaiannya adalah y = -5

Pada bagian 3. (4z – 1 = 11) disebut dengan kalimat terbuka, nilai z disebut dengan variabel, sedangkan – 1 dan 11 disebut dengan konstanta. Himpunan penyelesaiannya adalah z = 3. 

Kesetaraan Bentuk PLSV

Dua persamaan atau lebih dikatakan setara (Equivalen) jika mempunyai himpunan penyelesaian yang sama dan dinotasikan dengan simbol “ ↔ “. Syarat suatu persamaan dapat dinyatakan ke dalam suatu persamaan yang setara adalah dengan cara : 

1. Menambah atau mengurangi kedua ruas dengan bilangan yang sama.
2. Mengalikan atau membagi kedua ruas dengan bilangan yang sama.

Contoh soal :

1. Tentukan nilai x – 3 = 5

Penyelesaian : 

Jika x diganti 8 maka nilai 8-3 = 5  {benar} (syarat ke-1)

Jadi penyelesaian persamaan x-3 = 5 adalah  x = 8

2. Tentukan nilai 2x – 6 = 10

Penyelesaian : 

2x-6 = 10  → 2x = 16 (syarat ke-1)

Nilai x diganti dengan 8 agar kedua persamaan setara

2(8)  = 16 → 16 = 16 .

Jadi penyelesaian persamaan 2x – 6 = 10 adalah x = 8

3. Tentukan nilai x + 4  = 12

Penyelesaian : 

x + 4 = 12 → x = 12-4 { syarat ke-1}

Maka nilai x = 8

Jadi penyelesaiannya adalah x = 8 

Penyelesaian Soal PLSV

Cara menyelesaikan persamaan linear satu variabel adalah dengan cara substitusi. Metode substitusi adalah mengganti variabel dengan bilangan yang sesuai sehingga persamaan tersebut menjadi kalimat yang benar. 

Contoh :
Tentukan himpunan penyelesaian dari persamaan y + 2 = 5, jika nilai y merupakan variabel dan bilangan asli.

Pembahasan :
Kita ganti variabel y dengan nilai y = 3 (substitusi), ternyata persamaan y + 2= 5 menjadi kalimat terbuka yang benar. Sehingga himpunan penyelesaiannya dari y + 2 = 5 adalah {3}.

Adapun langkah-langkah penyelesaian menggunakan metode substitusi adalah sebagai berikut : 

1. Kelompokkan suku yang sejenis.
2. Jika suku sejenis di beda ruas, pindahkan agar menjadi satu ruas.
3. Jika pindah ruas maka tanda berubah (positif (+) menjadi negatif (-) dan sebaliknya).
4. Cari variabel hingga = konstanta yang merupakan penyelesaian. 

Contoh : 

Tentukan himpunan penyelesaian persamaan 4x – 3 = 3x + 5. Jika nilai x variabel pada himpunan bilangan bulat.  

Pembahasan :
4x – 3     = 3x + 5
4x- 3 + 3 = 3x +5 + 3 (kedua ruas ditambah 3)
4x           = 3x + 8 (langkah 1 (kelompokkan suku sejenis))
4x – 3x   = 8
x             = 8 (himpunan penyelesaiannya adalah x = 8)

Model Matematika PLSV

Aplikasi PLSV banyak digunakan dalam penyelesaian masalah di kehidupan sehari-hari contohnya menentukan bilangan yang tidak diketahui, menentukan luas dan keliling tanah, penentuan jumlah hasil panen, harga jual suatu kendaraan, jumlah paket pengiriman jasa, dll. Biasanya dalam penyelesaian soal aplikasi PLSV adalah dengan membuat model matematika. mobel matematika ini digunakan dengan cara memisalkan informasi yang tidak diketahui yaitu dengan memisalkan dengan variabel tertentu pada informasi yang tidak diketahui. Contoh soal Aplikasi SPLV adalah sebagai berikut : 

1. Selisih dua bilangan adalah 7 dan jumlah keduanya adalah 31. Buatlah model matematikanya dan tentukan kedua bilangan tersebut.
Pembahasan :
Model Matematikanya : Bilangan I = x
                                      Bilangan II = x =7

Dan penyelesaian dari model matematika di atas adalah : 

x + (x + 7) = 31
        2x +7 = 31
              2x = 12

Jadi, Bilangan I  = 12
                  Bilangan II = x+7
                                    = 19

2. Seorang petani mempunyai sebidang tanah berbentuk persegi panjang. Lebar tanah tersebut 6 m lebih pendek daripada panjangnya. Jika keliling tanah 60 m, buatlah model matematika dan tentukan luas tanah petani.
Pembahasan :
Misalkan panjang tanah = x dan lebar tanah = x-6
Jadi model matematikanya adalah p = x, dan l = x-6
Sedangkan untuk penyelesaian dari model matematika di atas adalah : 

K = 2 (p + l)
60 = 2 ( x + x – 6)
60 = 4x – 12
72 = 4x
18 = x

Sehingga luas tanah = p x l
                                =x (x-6)
                                =18 (18-6)
                                =18 x 12
                                =216 cm²

Soal dan Pembahasan 

1. Soal : Kesetaraan PLSV

Penyelesaian : 

Dengan menggunakan langkah-langkah penyelesaian linear satu variabel, diperoleh : 

2. Soal : Aplikasi PLSV dalam menentukan jumlah hasil panen

Jika jumlah hasil panen jeruk di suatu perkebunan pada bulan ke-t dengan B(t) = 80t + 75 kg, maka jumlah hasil panen jeruk sebesar 1,275 ton akan terjadi pada bulan ke……..

Penyelesaian :

Diketahui :

B (t) = 80 t + 75 kg

B (t) = 1,275 ton = 1275 kg

Oleh karena B (t) = 80t + 75 kg dan t = 1275 kg , maka diperoleh :