Himpunan

Definisi Himpunan

Himpunan adalah sekumpulan objek atau benda yang memiliki karakteristik yang sama atau terdefinisi dengan jelas.

Cara Menyajikan Himpunan

1. Mendaftarkan anggotanya (enumerasi)

    Contoh: A = {3, 5, 7}

2. Menyatakan sifat yang dimiliki oleh anggotanya

    Contoh:

    A = Himpunan semua bilangan ganjil yang lebih dari 1 dan kurang dari 8.

3. Menuliskan notasi pembentuk himpunan

    Contoh: A = {x|1 < x < 8, x adalah bilangan ganjil}

Himpunan Semesta

Himpunan semesta adalah himpunan seluruh unsur yang menjadi objek pembicaraan dan dilambangkan dengan S.

Suatu himpunan dapat dinyatakan dengan cara menuliskan anggotanya dalam suatu gambar (diagram) yang disebut dengan Diagram Venn.

Contoh Diagram Venn

Diketahui

S = {0, 1, 2, 3, 4, ..., 9};

P = {0, 1, 2, 3, 4}; dan Q = {5, 6, 7}.

Himpunan S = {0, 1, 2, , 4, ..., 9} adalah himpunan semesta. Dalam diagram Venn, himpunan semesta dinotasikan dengan S berada di pojok kiri.

Kardinalitas himpunan adalah banyak anggota suatu himpunan yang berbeda.

Himpunan kosong adalah himpunan yang tidak memiliki anggota. Himpunan kosong dilambangkan dengan ∅ atau { }

Relasi Himpunan

1. Himpunan A merupakan himpunan bagian (subset) dari himpunan B atau B supersupset dari A jika dan hanya jika setiap anggota himpunan A merupakan anggota himpunan B, dilambangkan A ⊂ B atau A ⊃ B. Jika ada anggota A yang bukan anggota B, maka A bukan himpunan bagian dari B, dilambangkan dengan A ⊄ B.

Sifat:

Himpunan kosong merupakan bagian dari semua himpunan.

2. Himpunan kuasa dari himpunan A adalah himpunan yang anggotanya seluruh himpunan bagian dari A dan dilambangkan dengan P(A). Banyak anggota himpunan kuasa dari himpunan A dilambangkan dengan n(P(A)).

Sifat:

Misalkan A himpunan dan P(A) adalah himpunan kuasa A. Jika n(A) = k, dengan k bilangan cacah, maka n(P(A)) =  2k

Operasi Himpunan

1. Irisan (intersection)

Irisan himpunan A dan B adalah himpunan semua anggota semesta yang merupakan anggota himpunan A dan himpunan B.

A ∩ B = {x | x ∈ A dan x ∈ B}

Jika A ∩ B = ∅ dan B ∩ A = ∅ disebut bahwa himpunan A saling lepas dengan himpunan B

Sifat :

Misalkan A dan B adalah dua himpunan. Jika A ⊂ B, maka A ∩ B = A

2.      Gabungan (union)

Misalkan S adalah himpunan semesta. Gabungan himpunan A dan B adalah himpunan yang anggotanya semua anggota S yang merupakan anggota himpunan A atau anggota himpunan B, dilambangkan dengan A ∪ B

A ∪ B = {x | x ∈ A atau x ∈ B}

Sifat

·         Untuk A dan B himpunan berlaku: n (A ∪ B) = n (A) + n (B) − n(A ∩ B)

·         Misalkan A, B dan C adalah himpunan. n (A ∪ B ∪ C) = n (A) + n (B) + n (C) – n (A ∩ B) – 

        n (A ∩ C) – n (B ∩ C) + n (A ∩ B ∩ C)

3.      Komplemen (Complement)

Misalkan S adalah himpunan semesta dan A adalah suatu himpunan. Komplemen himpunan A adalah suatu himpunan semua anggota himpunan S yang bukan anggota himpunan A, dilambangkan dengan Ac

  Ac ={x|x ∈ S dan x ∉ S}

Hukum de Morgan

· (A ∪ B)c =  Ac ∩ Bc

· (A ∩ B)c =  Ac ∪ Bc  

       

Sifat :

Misalkan A himpunan dan Ac adalah komplemen himpunan A, maka (Ac)c =  A

4.       Selisih (difference)

Definisi

Komplemen relatif  B terhadap A adalah himpunan semua anggota himpunan A yang bukan anggota himpunan B, dilambangkan A - B

A - B = {x | x ∈ A dan  x ∉ B} = A ∩ Bc

Sifat :

Untuk sebarang himpunan A dan B, berlaku

·         Jika A ∩ B = ∅, maka A − B = A dan B − A = B

·         Jika A ⊂ B, maka A − B = ∅

5.       Sifat-sifat operasi himpunan

·         Untuk sebarang himpunan A, berlaku:

        A ∪ A = A dan A ∩ A = A (sifat idempoten)

·         Untuk sebarang himpunan A, berlaku

        A ∪ ∅ = A dan A ∩ ∅ = ∅ (sifat identitas)

·         Untuk sebarang himpunan A dan B, berlaku:

        A ∪ B = B ∪ A dan A ∩ B = A ∩ B (sifat komutatif)

·         Untuk sebarang himpunan P, Q dan R berlaku:

        P ∪ (Q ∪ R) = (P ∪ Q) ∪ R dan (P ∩ Q) ∩ R = P ∩ (Q ∩ R) (sifat asosiatif)

·         Untuk sebarang himpunan P, Q dan R berlaku:

        P ∪ (Q ∩ R) = (P ∪ Q) ∩ (P ∪ R) dan P ∩ (Q ∪ R) = (P ∩ Q) ∪ (P ∩ R) (sifat distributif)

Contoh 1:

Misalkan A = {2, 3, 5, 7, 11} dan B = {1, 2, 3, 4, 7, 11}. Tentukan A ∩ B.

Penyelesaian:

Anggota himpunan A dan B yang merupakan anggota himpunan A sekaligus anggota himpunan B adalah 2, 3, 7, 11.

Jadi, A ∩ B = {2, 3, 7, 11}

Diagram Venn:

Contoh 2:

Dari 35 siswa, 25 siswa gemar bulu tangkis, dan 20 siswa gemar basket. Tentukan banyak siswa yang:

a. Gemar kedua-duanya

b. Gemar bulu tangkis saja

c. Gemar basket saja

Penyelesaian:

n (A ∪ B) = 35, n (A) = 25, n (B) = 20

a. Siswa yang gemar keduanya adalah (A ∩ B)

    n (A ∪ B) = n (A) + n (B) – n (A ∩ B)

                35 = 25 + 20 – n (A ∩ B)

    n (A ∩ B) = 45 − 35 = 10

    Jadi siswa yang gemar keduanya berjumlah 10 anak.

b. Siswa yang gemar bulu tangkis saja adalah 25 – 10 = 15 anak

c. Siswa yang gemar basket saja adalah 20 – 10 = 10 anak