OPERASI ALJABAR

Aljabar adalah suatu bentuk matematika yang dapat mempermudah masalah-masalah yang sulit dengan menggunakan huruf-huruf. Huruf-huruf ini mewakili bilangan yang belum diketahui dalam perhitungan. Bentuk aljabar terdapat unsur-unsur aljabar, meliputi variabel, koefisien, konstanta, faktor, suku sejenis dan suku tidak sejenis.

A. Pengertian Vaiabel, Konstanta, Koefsien, dan Suku

1. Variabel
    Variabel adalah lambang pengganti suatu bilangan yang belum diketahui nilainya dengan jelas. Variabel disebut juga peubah. Variabel biasanya dilambangkan dengan huruf kecil a, b, c, … z.

Contoh:
Suatu bilangan jika dikalikan 5 kemudian dikurangi 3, hasilnya adalah 12. Buatlah bentuk persamaannya!
Jawab:
Misalkan bilangan tersebut x, berarti 5x – 3 = 12. (x merupakan variabel)

2. Konstanta
    Suku dari suatu bentuk aljabar yang berupa bilangan dan tidak memuat variabel disebut konstanta.

Contoh:
Tentukan konstanta pada bentuk aljabar berikut.
a. 2 x² + 3xy + 7x – y – 8
b. 3 – 4 x² – x
Jawab: 
a. Konstanta adalah suku yang tidak memuat variabel, sehingga konstanta dari 2 x² + 3xy + 7x – y – 8
adalah –8.
b. Konstanta dari 3 – 4 x² – x adalah 3.

3. Koefisien
Koefisien pada bentuk aljabar adalah faktor konstanta dari suatu suku pada bentuk aljabar.

Contoh:
Tentukan koefisien x pada bentuk aljabar berikut.
a. 5x²y + 3x
b. 2x²+ 6x – 3
Jawab:
a. Koefisien x dari 5 x²y + 3x adalah 3.
b. Koefisien x dari 2 x² + 6x – 3 adalah 6. 

4. Suku
    Suku adalah variabel beserta koefisiennya atau konstanta pada bentuk aljabar yang dipisahkan oleh operasi jumlah atau selisih.
a. Suku satu adalah bentuk aljabar yang tidak dihubungkan oleh operasi jumlah atau selisih.

Contoh: 3x, 4a², –2ab, 
b. Suku dua adalah bentuk aljabar yang dihubungkan oleh satu operasi jumlah atau selisih.
Contoh: a² + 2, x + 2y, 3 x² – 5x, 
c. Suku tiga adalah bentuk aljabar yang dihubungkan oleh dua operasi jumlah atau selisih.

B. Operasi Aljabar

1. Penjumlahan dan Pengurangan Bentuk Aljabar

Pada bentuk aljabar, operasi penjumlahan dan pengurangan hanya dapat dilakukan pada suku-suku yang sejenis. Jumlahkan atau kurangkan koefisien pada suku-suku yang sejenis.

Contoh:
Tentukan hasil penjumlahan dan pengurangan bentuk aljabar berikut :
a. –4ax + 7ax
b. (2x² – 3x + 2) + (4x² – 5x + 1)
c. (3a² + 5) – (4a² – 3a + 2) 

Penyelesaian:
a. –4ax + 7ax = (–4 + 7)ax = 3ax

b. (2x² – 3x + 2) + (4x² – 5x + 1)
= 2x² – 3x + 2 + 4x² – 5x + 1
= 2x² + 4x² – 3x – 5x + 2 + 1
= (2 + 4)x² + (–3 – 5)x + (2 + 1)
= 6x² – 8x + 3

c. (3a² + 5) – (4a² – 3a + 2)
= 3a² + 5 – 4a² + 3a – 2
= 3a² – 4a² + 3a + 5 – 2
= (3 – 4)a² + 3a + (5 – 2)
= – a²+ 3a + 3

2. Perkalian

Perlu kalian ingat kembali bahwa pada perkalian bilangan bulat berlaku sifat distributif perkalian terhadap penjumlahan, yaitu a × (b + c) = (a × b) + (a × c) dan sifat distributif perkalian terhadap pengurangan, yaitu a × (b – c) = (a × b) – (a × c), untuk setiap bilangan bulat a, b, dan c. Sifat ini juga berlaku pada perkalian bentuk aljabar.

a. Perkalian antara konstanta dengan bentuk aljabar
Perkalian suatu bilangan konstanta k dengan bentuk aljabar suku satu dan suku dua dinyatakan sebagai berikut.
k(ax) = kax

k(ax + b) = kax + kb

Contoh:
Jabarkan bentuk aljabar berikut, kemudian sederhanakanlah.
a. 4(p + q)
b. 5(ax + by)
c. 3(x – 2) + 6(7x + 1)
d. –8(2x – y + 3z)

Penyelesaian:
a. 4(p + q) = 4p + 4q

b. 5(ax + by) = 5ax + 5by

c. 3(x – 2) + 6(7x + 1) = 3x – 6 + 42x + 6
                                   = (3 + 42)x – 6 + 6
                                   = 45x

d. –8(2x – y + 3z) = –16x + 8y – 24z

b. Perkalian antara dua bentuk aljabar
Sebagaimana perkalian suatu konstanta dengan bentuk aljabar, untuk menentukan hasil kali antara dua bentuk aljabar kita dapat memanfaatkan sifat distributif perkalian terhadap penjumlahan dan sifat distributif perkalian terhadap pengurangan.
Selain dengan cara tersebut, untuk menentukan hasil kali antara dua bentuk aljabar, dapat menggunakan cara sebagai berikut. Perhatikan perkalian antara bentuk aljabar suku dua dengan suku dua berikut.

(ax+b)(cx+d) = ax × cx + ax × d + b × cx + b × d

          = acx² + (ad +bc)x + bd

Selain dengan cara skema seperti di atas, untuk mengalikan bentuk aljabar suku dua dengan suku dua dapat digunakan sifat distributif seperti uraian berikut.

(ax+b)(cx+d) = ax(cx +d) + b(cx +d)

                                 = ax × cx +ax × d + b × cx + b × d

                                 = acx² +adx +bcx +bd

                                = acx² +(ad + bc)x + bd

3. Pembagian

Untuk menentukan hasil bagi dua bentuk aljabar dapat dilakukan dengan cara menentukan terlebih dahulu faktor sekutu masing-masing bentuk aljabar tersebut, kemudian lakukanlah pembagian pada pembilang dan penyebutnya.

Untuk memantapkan pemahaman Anda tentang cara menentukan operasi pembagian pada bentuk aljabar, silahkan perhatikan contoh soal di bawah ini.

Contoh soal 1

Sederhanakanlah pembagian bentuk aljabar berikut.

1.      3xy : 2y

2.      6a³b² : 3a²b

3.      x³y : (x²y² : xy)

4.      (24p²q + 18pq²) : 3pq

Penyelesaian:

1. Faktor sekutu dari 3xy dan 2y adalah y, maka:

<=> 3xy : 2y = 3xy/2y

<=> 3xy : 2y = 3xy/2y

<=> 3xy : 2y = 3x/2

2.Faktor sekutu dari 6a³b² dan 3a²b adalah 3a²b, maka:

<=> 6a³b² : 3a²b = 6a³b²/3a²b

<=> 6a³b² : 3a²b = (2ab)(3a²b)/3a²b

<=> 6a³b² : 3a²b = (2ab)

3. Kerjakan terlebih dari yang ada di dalam kurung. Faktor sekutu dari x²y² dan xy adalah xy, maka:

<=> x³y : (x²y² : xy) = x³y : (x²y²/xy)

<=> x³y : (x²y² : xy) = x³y : (xy.xy/xy)

<=> x³y : (x²y² : xy) = x³y : xy

Faktor sekutu dari x³y dan xy adalah xy, maka:

<=> x³y : (x²y² : xy) = x³y : xy

<=> x³y : (x²y² : xy) = x².xy : xy

<=> x³y : (x²y² : xy) = x²

4.      Faktor sekutu dari 24p²q, 18pq², dan 3pq adalah 3pq, maka:

<=> (24p²q + 18pq²) : 3pq = 6pq(4p + 3q) : 3pq

<=> (24p²q + 18pq²) : 3pq = 2.3pq(4p + 3q) : 3pq

<=> (24p²q + 18pq²) : 3pq = 2(4p + 3q)

 

semoga bermanfaat penjelasan tentang operasi aljabar.