Pengertian Persamaan Kuadrat

Persamaan kuadrat adalah persamaan yang variabelnya memiliki pangkat tertinggi sama dengan dua (2). Adapun bentuk umum persamaan kuadrat adalah sebagai berikut.

ax² + bx + c = 0

Keterangan:

a, b  = koefisien (a ≠ 0);

x = variabel; dan

c = konstanta.

Jenis-Jenis Persamaan Kuadrat

Secara umum, persamaan kuadrat dibagi menjadi empat, yaitu sebagai berikut.

1. Persamaan Kuadrat Biasa

Persamaan kuadrat biasa adalah persamaan kuadrat yang nilai a = 1. Berikut ini contohnya.

x² + 3x + 2 = 0

2. Persamaan Kuadrat Murni

Persamaan kuadrat murni adalah persamaan kuadrat yang nilai b = 0. Berikut ini contohnya.

x² + 2 = 0

3. Persamaan Kuadrat Tak Lengkap

Persamaan kuadrat tak lengkap adalah persamaan kuadrat yang nilai c = 0. Berikut ini contohnya.

x² + 3x = 0

4. Persamaan Kuadrat Rasional

Persamaan kuadrat rasional adalah persamaan kuadrat yang nilai koefisien dan konstantanya berupa bilangan rasional. Berikut ini contohnya.

4x² + 3x + 2 = 0

Cara Menentukan Akar Persamaan Kuadrat

Akar persamaan kuadrat merupakan salah satu faktor penting yang harus bisa kamu tentukan dalam penyelesaian persamaan kuadrat. Ada beberapa cara yang bisa kamu gunakan untuk mencari akar pada persamaan kuadrat, yaitu sebagai berikut. 

1. Faktorisasi

Faktorisasi adalah penjumlahan suku aljabar menjadi bentuk perkalian faktornya. Jika kamu melakukan faktorisasi persamaan kuadrat, artinya kamu membuat perkalian dua buah persamaan linear.

ax² + bx + c = 0

b = hasil penjumlahan antara suku ke-1 dan ke-2

c = hasil perkalian antara suku ke-1 dan ke-2

Perhatikan contoh berikut.

§  Bentuk persamaan kuadrat: x² + 5x + 6 = 0

   Bentuk faktorisasi: (x + 3) (x + 2) = 0

   Akar: x = -3 atau x = -2

§  Bentuk persamaan kuadrat: x² – 9 = 0

   Bentuk faktorisasi: (x – 3)(x + 3) = 0

   Akar: x = 3 atau x = -3

2. Melengkapkan Kuadrat Sempurna

Bentuk ax² + bx + c = 0 bisa kamu jabarkan menjadi seperti berikut.

(x + p)² = q

Perhatikan contoh berikut.

Bentuk persamaan kuadrat: x² + 5x + 6 = 0

x² + 8x + 6 = 0

(x² + 8x) = -6

x² + 8x +16 = -6 +16

(x + 4)²= 10

(x + 4) = ± √10

x = √10 – 4 atau x = -√10 – 4

3. Menggunakan Rumus abc

Adapun persamaan rumus abc adalah sebagai berikut.

 

Perhatikan contoh berikut.
Tentukan akar persamaan x² – 4x – 5 = 0!
Diketahui: a = 1, b = -4, dan c = -5
Substitusikan nilai a, b, dan c ke persamaan abc.

Jadi, akar persamaan  x² – 4x – 5 = 0 adalah x = 5 atau x = -1.

Jenis-Jenis Akar Persamaan Kuadrat 

Sebelum membahas tentang jenis akar persamaan kuadrat, kamu akan dikenalkan terlebih dahulu dengan istilah diskriminan. Apa itu diskriminan? Diskriminan atau biasa dilambangkan D adalah hubungan antarkoefisien yang menentukan besar dan jenis akar persamaan kuadrat. Pada pembahasan sebelumnya, kamu sudah mengenal rumus abc, yaitu sebagai berikut.

Dari persamaan di atas, besaran yang dimaksud diskriminan adalah b² – 4ac.
Dengan demikian, persamaan rumus abc menjadi seperti berikut.

Nah, jenis akar persamaan kuadrat ternyata bergantung pada nilai dari determinannya (D). Berikut ini penjelasannya.

1. Jika nilai D > 0, maka suatu persamaan kuadrat akan memiliki dua akar real yang tidak sama besar (x₁ ≠ x₂).

2. Jika nilai D = 0, maka suatu persamaan kuadrat akan memiliki dua akar real dan kembar.

3. Jika nilai D < 0, maka suatu persamaan kuadrat tidak memiliki akar real (akarnya imajiner).

Jika persamaan kuadrat ditulis dalam bentuk grafik, akan muncul grafik parabola seperti bentuk lintasan bola yang ditendang dengan kemiringan tertentu.

Agar pemahamanmu semakin cling-cling, yuk simak contoh soal berikut.

Contoh Soal 1

Berapakah akar persamaan kuadrat dari x² + 9x + 18 = 0?

Pembahasan:

Ingat bahwa konstanta 18 bisa dibentuk oleh hasil perkalian antara 6 dan 3. Hal itu karena penjumlahan antara 6 dan 3 menghasilkan 9 (nilai b). Dengan demikian, berlaku:

x² + 9x + 18 = 0

(x + 6)(x + 3) = 0

x = -6 atau x = -3

Jadi, akar persamaan kuadrat x² + 9x + 18 = 0 adalah -6 atau -3.

Contoh Soal 2

Tentukan jenis akar persamaan kuadrat x² + 16x + 64 = 0!

Pembahasan:

Ingat, untuk menentukan jenis akar, kamu harus mencari nilai determinannya.

x² – 64 = 0

a = 1

b = 16

c = 64

D = (16)² – 4 . 1 . (-64)

    = 256 – 256

    = 0

Oleh karena nilai D = 0, maka persamaan x² + 16x + 64 = 0 memiliki dua akar yang kembar (sama) dan real.

Contoh Soal 3

Tentukan akar persamaan 2x² – 8x + 7 = 0 menggunakan rumus abc!

Pembahasan:

Diketahui: a = 2, b = -8, dan c = 7

Substitusikan nilai a, b, dan c ke persamaan abc.

Jadi, akar persamaan 2x² – 8x + 7 = 0 adalah 4,5 atau -1,5.